事業(yè)單位職業(yè)能力傾向測驗：完全平方數(shù)的約數(shù)

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約數(shù)倍數(shù)問題是數(shù)量關系模塊中一類非常重要的題型，而完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)又是約數(shù)倍數(shù)問題里面經常會考到的一個知識點，今天華圖教育帶大家一起來認識一下平方數(shù)的約數(shù)。

判斷一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)時，我們往往先將這個數(shù)進行質因數(shù)分解，然后把各個質因數(shù)的冪次數(shù)字分別加1，最后再相乘，得到的數(shù)字就是這個數(shù)的約數(shù)個數(shù)。其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是這個數(shù)字本身。例如：，那么120的約數(shù)個數(shù)一共有（3+1）X（1+1）X（1+1）=16(個)。

在實際做題過程中，有一類題型考察的本質往往是讓我們判斷一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，根據(jù)上述規(guī)律可知，想讓一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，那么對其進行質因數(shù)分解后其所有質因數(shù)的指數(shù)應該都是偶數(shù)(因為一旦有一個指數(shù)是奇數(shù)，加1之后就是偶數(shù)，最后乘出來的總約數(shù)個數(shù)必然是偶數(shù))，而滿足此條件的數(shù)只能是完全平方數(shù)。因此我們可以總結規(guī)律：若一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)。

一、例題精講

【例1】設有編號為1、2、3…10的10張背面向上的紙牌，現(xiàn)有10名游戲者，第1名游戲者將所有編號是1的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，接著第2名游戲者將所有編號是2的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，……，第n名(n≤10)游戲者，將所有編號是n的倍數(shù)的紙牌翻成另一面向上的狀態(tài)，如此下去，當?shù)?0名游戲者翻完紙牌后，那些紙牌正面向上的最大編號與最小編號的差是( )。

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】D

【解析】首先我們根據(jù)題目中所說的翻牌規(guī)律確定一下紙牌被翻的次數(shù)由什么決定：

比如編號為6這張紙牌在這個過程中會被第1名，第2名，第3名，第6名，各翻1次，一共被翻了4次，而1、2、3、6正好是6的4個約數(shù)，因此我們知道紙牌被翻的次數(shù)等于其編號的約數(shù)個數(shù)。剛開始紙牌都是背面朝上，而題目問題是最終正面朝上的紙牌最大編號與最小編號差，故最終想讓紙牌正面朝上，這張紙牌在整個過程中應該被翻了奇數(shù)次，即這張紙牌的編號的約數(shù)個數(shù)應該是奇數(shù)。一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)，1~10之間只有1、4、9這3個數(shù)字是完全平方數(shù)，那么最大和最小的編號之差為9-1=8，故選D。

【例2】編號為1—50的選手參加一個爬樓比賽，樓高為60層，所有選手在第1層均獲得一個特別的號牌，此后每經過一個樓層，如果選手的編號正好是樓層數(shù)的整數(shù)倍，就將得到一個特別的號牌，所有選手都到達終點后，正好持有3個特別號牌的選手有多少人?

A. 1

B. 4

C. 7

D. 10

【答案】B

【解析】首先我們根據(jù)題目中的規(guī)律來探索一下選手最終持有的的特別號牌數(shù)量與選手編號的關系：例如編號為8的選手會在第1層，第2層，第4層，第8層各獲得一個特別號牌，共獲得4個特別號牌。而1、2、4、8正是編號8的4個約數(shù)，因此我們知道選手最終獲得特別號牌的個數(shù)就是其本身編號的約數(shù)個數(shù)。題目中說正好持有3個特別號牌，說明選手的編號一共有3個約數(shù)。3為奇數(shù)，說明選手編號一定是完全平方數(shù)，即編號可以表示為a2這樣的形勢，而只有當a為質數(shù)的時候才能保證恰好有3個約數(shù)，在1-50中，滿足條件的有22、32、52、72，一共4個，所以選B。

總之，一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)若為奇數(shù)個，那么這個數(shù)必是完全平方數(shù)，牢牢把握這一規(guī)律，我們才能在較短的時間內選出正確的答案。

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